ARCHEOASTRONOMIA LIGUSTICA

 

 

Pubblicato in: Atti del XV Seminario A.L.S.S.A. di Archeoastronomia, Genova, 13-14 aprile 2013, pp. 152-170.

 

 

il Metodo Nautico

per il calcolo dellazimut di un allineamento e della declinazione da esso sottesa

 

Mario Codeb

 

Agostino Frosini

 

 

 

Descrizione (di Mario Codeb)[1]

 

Vengono qui di seguito date, con esempi numerici, due fondamentali sequenze di formule che consentono di determinare lazimut astronomico A di un allineamento e la declinazione δ sottesa, essendo noti:

1) le coordinate geografiche latitudine φ, longitudine λ, quota sul livello del mare e[2];

2) langolo α tra lallineamento e lastro (generalmente il Sole), misurato con il teodolite o con lo squadro sferico graduato, nellistante della misurazione.

Le due sequenze sono valide per misurazioni prese col Sole, ma possono essere utilizzate anche con Luna, stelle e pianeti apportando alcune modifiche (che qui non vengono descritte).

I valori tabulari si desumono dalle Effemeridi in corso. Nellesempio che segue sono state utilizzate quelle nautiche pubblicate dallIstituto Idrografico della Marina Militare Italiana I.I.M., dette Effemeridi Nautiche (EN) o Almanacco Nautico (in inglese: Nautical Almanac NA). Perci le sigle usate sono quelle proprie di tale almanacco[3].

Le procedure di calcolo sono desunte da Flora 1987 ed adattate alle necessit dellarcheoastronomia.

Le correzioni da apportare al barometro a mercurio sono descritte nella tavola XIII del volume Tavole Nautiche dellI.I.M., mentre i valori della rifrazione atmosferica nella tavola XXII.

Le abbreviazioni, i simboli e le sigle usate sono le seguenti:

= Sole;

= Luna;

= stella;

= pianeta;

h, m, s = ore, minuti e secondi di tempo;

sen = seno;

cos = coseno;

tan = tangente;

* = moltiplicazione;

tm = tempo medio del luogo di osservazione, ovvero sua ora civile (la comune ora segnata dallorologio);

Tm = tempo medio di Greenwich, ovvero sua ora civile (altrimenti detto UT e, con dizione scorretta, GMT[4]);

tv = tempo vero, ossia angolo orario del centro dellastro contato a partire dal meridiano superiore dellosservatore verso W. Il meridiano superiore quel meridiano che comprende un polo dellequatore e lo zenit dellosservatore. Il meridiano inferiore quello che contiene laltro polo dellequatore ed il nadir dellosservatore;

Tv = il tempo vero al meridiano di Greenwich;

H = angolo orario, ossia tv, dellastro;

A = azimut;

Am = azimut misurato con lo strumento (teodolite o squadro sferico graduato);

Aa = azimut dellallineamento;

φ = latitudine;

λ = longitudine;

δ = declinazione;

ET = equazione del tempo, ossia differenza algebrica tra il tempo vero ed il simultaneo tempo medio (o viceversa, con relativo cambiamento di segno algebrico): ETm = tv tm (equazione del tempo medio) oppure: ETv = tm tv (equazione del tempo vero);

JD = giorno giuliano;

hv = altezza vera dellastro;

ho = altezza misurata (altrimenti detta osservata) dellastro;

R = rifrazione atmosferica;

Q = altezza sul livello del mare dellocchio dellosservatore, comprensiva di quota sul livello del mare e di altezza dal suolo dellocchio dellosservatore;

i = depressione dellorizzonte; per calcolarla qui usata la formula: i = 0,03 √Q;

Π: parallasse. Quella del Sole Π vale, al 2000.0, mediamente 00008,794148. Quella della Luna Π vale mediamente 05702,7 quando essa allorizzonte astronomico e (05702,7cos ho) quando invece sopra di esso di una quantit ho (misurabile con il cerchio zenitale del teodolite, o con linclinometro o con il sestante). Quella delle stelle Π evanescente. La parallasse di Sole, Luna e pianeti Π● pu anche essere ricavata dalla tavola XXIV delle Tavole Nautiche. Nelle Effemeridi Nautiche quella lunare data di ora in ora per ciascun giorno dellanno;

Sd = semidiametro di un astro. Vale praticamente solo per Sole e Luna, che si presentano visivamente come dischi. Nelle Effemeridi Nautiche dato giornalmente per la Luna e di tre giorni in tre giorni in ogni pagina per il Sole; in entrambi i casi sempre riferito alle ore Tm 00h00m00s. Lo si pu ricavare anche dalla tavola XXIII delle Tavole Nautiche. Il semidiametro solare vale mediamente 01601; quello Lunare mediamente 01542,5 ed entrambi possono essere arrotondati al valore medio 016;

z = distanza zenitale. E linverso dellaltezza; perci vale z = 90 h;

ε = obliquit (angolare) delleclittica;

Pmb = pressione atmosferica in millibars;

PmmHg = pressione atmosferica in millimetri di mercurio. Le relazioni che legano tra loro queste due ultime grandezze sono le seguenti: Pmb = PmmHg 3/4; PmmHg = Pmb 4/3;

Im = intervallo medio nelle EN;

Iv = intervallo vero nelle EN;

pp = parti proporzionali nelle EN;

d = differenza oraria della declinazione (con il suo segno) nelle EN.

Questi ultimi quattro segni sono adottati nelle Effemeridi Nautiche per le interpolazioni con le apposite tabelle annesse (nelle pagine colorate).

 

a) Si trasforma il tm in Tm sottraendo o aggiungendo al tm lora del fuso orario locale a seconda, rispettivamente, se questo a E o a W di Greenwich:

Tm = tm ora del fuso orario locale ( se ad E di Greenwich; + se ad W).

 

b) Trasformato il tm in Tm, si trascurano momentaneamente i minuti ed i secondi (che in questa circostanza prendono il nome di Im1) e per il solo valore delle ore si cerca nella colonna T delle EN il corrispondente valore espresso in gradi sessagesimali: questo il Tv della sola ora. Nelle pagine colorate delle EN si cerca quello corrispondente ai minuti di Im e nella colonna secondi, in corrispondenza ai secondi di Im, si trova, nella colonna intestata Sole e pianeti (se si stanno utilizzando questi nella misurazione. Se invece si sta utilizzando la Luna si cerca nella colonna intestata Luna. Se si sta utilizzando il tempo siderale, si cerca nella colonna intestata con il simbolo ^. Qui di seguito si considerer e si utilizzer sempre e soltanto il Sole) un valore, detto intervallo vero Iv, in gradi, primi e decimi di primo sessagesimali (si rammenti che per trasformare un decimo di primo in secondi basta moltiplicarlo per 6). Il Tv corrispondente alle sole ore di Tm si somma allIv e si trova il Tv complessivo di ore, minuti e secondi. In definitiva, con questa operazione solo apparentemente complessa, si effettuata in maniera semplice uninterpolazione.

 

c) Al Tv di ore, minuti e secondi si somma la longitudine λ del sito con il suo segno: in astronomia nautica la longitudine si considera positiva ad E e negativa ad W[5]. Si ottiene cos il tv:

tv = Tv λ.

Nelleffettuare questi calcoli conviene innanzitutto trasformare tutti i valori orari o sessagesimali nei corrispettivi valori decimali. Per far ci si dividono i secondi (sia di tempo che di grado) per 60 e si ottengono parti decimali di primo; poi si dividono i primi e le parti decimali gi ottenute per 60 e si ottengono parti decimali di ore o di gradi. Le calcolatrici eseguono questa trasformazione oppure hanno un apposito tasto.

Es. 1: convertire 201247 in parti decimali:

47/60 = 0,78(3)[6]

12,78(3)/60 = 0,2130(5)

risultato: 20,2130(5)

 

Es. 2: convertire in parti decimali lorario 4h56m37s (4 ore, 56 minuti, 37 secondi):

37/60 = 0,61(6)

56,61(6)/60 = 0,9436(1)

risultato: ore 4,9436(1)

 

Per trasformare i valori decimali in sessagesimali od orari si procede come sopra, ma moltiplicando per 60.

Es. 3: convertire 20,2130(5) in gradi sessagesimali:

0,2130(5) * 60 = 12,78(3)

0,78(3) * 60 = 46,(9)

risultato: 201247

 

Es. 4: convertire lorario 4,9436(1) ore in ore, minuti e secondi:

0,9436(1) * 60 = 56,61(6) minuti

0,61(6) * 60 = 36,(9) secondi

risultato: 4h56m37s.

 

Inoltre se le coordinate sono date in valori differenti (in genere la longitudine in valori orari e la latitudine in valori sessagesimali) occorre necessariamente trasformarle in ununica unit di misura, oraria o sessagesimale, e poi decimale. Di solito conviene di pi trasformare le coordinate orarie in sessagesimali. Per far ci basta moltiplicare il valore orario decimale per 15. Allopposto, per trasformare i valori sessagesimali decimali in orari basta dividerli per 15.

 

Es. 5: trasformare lorario 4h56m37s in gradi sessagesimali:

4h56m37s = 4,9436(1); 0,9436(1) * 15 = 4,1541666667 = 740915

 

Es. 6: trasformare 740915 in ore, minuti e secondi:

740915 = 74,1541666667 / 15 = 4,9436(1) = 4h56m37s.

Si rammenti che le calcolatrici scientifiche trasformano automaticamente i valori orari e sessagesimali in decimali, perch internamente eseguono i calcoli sempre con tale formato.

 

d) Si calcola ora la declinazione δ. Nelle EN di fronte al valore T (cio a Tv) nella colonna intestata Dec. si trova il valore della declinazione oraria δ, che pu essere S o N. Il solo valore dei minuti, arrotondato dei secondi per difetto, costituisce lIm dei minuti arrotondati per difetto. In fondo alla colonna, a pie di pagina, si trova la sigla d seguita da un valore numerico molto basso preceduto dal segno algebrico ; per il Sole esso oscilla tra d +1.0 e d 1.0. Nella pagina colorata corrispondente al valore di Im arrotondato per difetto, nelle colonne v/d si cerca il valore numerico di d: di fronte ad esso, nella colonna pp (parti proporzionali) si trova un valore in primi e decimi di primo sessagesimali. Il valore pp si somma algebricamente con il segno di d a δ dellunit oraria. Si considera ora il solo valore dei minuti arrotondato per eccesso dellimporto dei secondi (ossia un minuto in pi del valore di Im) o Im arrotondato per eccesso. Nella pagina colorata del suo valore si cerca nella colonna v/d il corrispondente valore di pp; se esso uguale a quello trovato per Im arrotondato per difetto lo si trascura; se diverso si fa la media tra i due valori (o, meglio, sinterpola) ed il risultato si somma a δ dellunit oraria con il segno di d. Si ottiene cos la declinazione δ dellastro in quel preciso momento di Tm, completo di ore, minuti e secondi. Anche in questo caso, come gi per il Tv di cui al punto b), si eseguita in modo semplice uninterpolazione[7].

 

e) Ora si calcola laltezza h dellastro con la formula[8]:

sen h = sen δ * sen φ + cos δ * cos φ * cos tv.

 

f) Si calcola lazimut A dellastro:

cos A = (sen δ sen φ * sen h) / (cos φ cos h).

Si ricava A con le tavole delle funzioni trigonometriche o con la funzione arcocoseno. Se il tv (di cui al punto c) <180 allora A quello trovato con la formula sopra indicata; se invece il tv >180 allora

As = 360 A.

 

g) Si calcola lazimut Aa dellallineamento aggiungendo o sottraendo allazimut A langolo α misurato con il teodolite o con lo squadro sferico: Aa = A α. E precisamente: si aggiunge langolo α se lastro deve ancora passare sullallineamento misurato e invece lo si sottrae se gi passato su di esso.

 

h) A questo punto si deve calcolare laltezza vera hv dellastro rispetto alla ho misurata con il cerchio zenitale del teodolite o con linclinometro. Infatti laltezza vera hv differisce da quella misurata per un considerevole numero di parametri: la rifrazione, la depressione dellorizzonte, il semidiametro[9], la parallasse.

 

h1) La rifrazione R il fattore pi importante e costituisce uno dei capitoli pi complessi dellastronomia sferica poich essa dipende dalle condizioni fisiche temperatura, pressione, umidit, ecc. di tutti gli strati daria che il raggio di luce attraversa dalla stratosfera fino al suolo, trasformandosi da raggio incidente in raggio rifratto. Questultimo pone limmagine visiva dellastro ad unaltezza sempre maggiore di quanto esso si trovi fisicamente nella realt (per es. allalba limmagine del Sole sullorizzonte astronomico gi visibile alcuni minuti prima del suo effettivo sorgere ed al tramonto ancora visibile per alcuni minuti dopo che effettivamente tramontato). La rifrazione nulla allo zenit e massima allorizzonte astronomico: diminuisce, quindi, con laumentare dellaltezza h sullorizzonte astronomico o che lo stesso con il diminuire della distanza zenitale z[10]. Per altezze di astri >15 (ossia per distanze zenitali z < 85) sono disponibili numerose formule, ma per altezze inferiori a 15 (ossia distanze zenitali z > 85) solo la formula di Bennet (Meeus 2005, pp. 105 108)[11] d risultati attendibili[12], oppure occorre utilizzare apposite tabelle, costruite sulla base di osservazioni empiriche. Esse sono generalmente allegate alle principali effemeridi (Conaissance de Temps, American Nautical Almanac, ecc.), ma non a quelle dellI.I.M. che le pubblica invece nelle sue Tavole Nautiche alla tavola n. XXII, nella quale al valore della rifrazione media occorre apportare le due correzioni per la temperatura prima e per la pressione barometrica poi, entrambe misurate nel luogo di osservazione. Per unesauriente discussione del problema della rifrazione atmosferica si veda in AA.VV. 1976 1987, vol. III parte I, pp. 514 516; Flora 1987, pp. 285 315; Lenzi 1967, pp. 24 26; Meeus 2005, pp. 105 108; Smart 1977, pp. 58 73; Zagar 1984, pp. 205 226.

 

h2) La depressione dellorizzonte i data dalla formula

i = 0,03 * √Q

dove Q laltezza in metri sul livello del mare dellocchio dellosservatore, comprensiva cio della quota in metri del luogo sul livello del mare e dellaltezza in metri dellocchio dellosservatore dal suolo. Per approfondimenti sulla teoria della depressione dellorizzonte si veda Flora 1987, pp. 285 315.

Si badi bene che la formula per il calcolo di ho non si riferisce pi allastro che abbiamo test misurato con il teodolite ed il cronometro astronomico, ma allastro incognito verso il quale reputiamo che il monumento archeologico sia orientato. Se supponiamo che esso sia diretto verso una stella e comunque per una prima approssimazione, questi tre parametri ho, i ed R sono sufficienti.

Se il calcolo eseguito ci fa supporre trattarsi di un pianeta visibile ad occhio nudo occorre aggiungere anche la parallasse Π● secondo la tavola XXIV delle Tavole Nautiche. Se, infine, abbiamo ragione di credere trattarsi del Sole o della Luna occorre introdurre nella formula anche i valori di parallasse Π e Π e semidiametro Sd ed Sd: questi due astri, infatti, non appaiono puntiformi come le stelle e i pianeti, ma presentano entrambi limmagine di un disco che ha unampiezza di circa mezzo grado. La parallasse va aggiunta nella formula. Quella del Sole molto piccola, essendo il suo valore 00008,794148 ed pressoch costante, data la sua grande distanza dalla Terra. Quella della Luna maggiore, ma soprattutto varia di ora in ora a seconda dellaltezza del satellite sullorizzonte astronomico ed data di ora in ora per ogni giorno dellanno dallapposita colonna PAR delle EN. In alternativa si pu usare il valore medio Π = 05702,7 (parallasse orizzontale media), ma introducendo cos un errore. Se invece il satellite ha una qualche altezza ho≠00000 il valore della sua parallasse dato, in prima approssimazione, dalla formula: Π * cos ho.

Attenzione! Le EN danno la parallasse Lunare di ora in ora per ogni giorno dellanno, ma questi valori servono solo nel caso che la Luna sia lastro di cui abbiamo misurato con il teodolite langolo α dallallineamento delle paline e non quando essa lastro ignoto verso il quale supponiamo che lallineamento sia puntato: infatti in questultimo caso noi ignoriamo completamente la data e lora in cui essa si allineava con il monumento; perci la migliore parallasse lunare da introdurre nella formula di trasformazione da hv in ho quella calcolata con lespressione Π = 05702,7 * cos ho anzich quella delle EN. Per unesauriente disamina della parallasse si veda in AA.VV. 1976-1987, pp. 516-517, 528-529; Flora 1987, pp. 285 315; Lenzi 1967, p. 23; Smart 1977, pp. 195 295; Zagar 1984, pp. 187 204.

 

h3) Il semidiametro Sd o raggio angolare la met della misura apparente del disco visibile del Sole e della Luna. Esso varia in funzione diretta della distanza della Terra dai due astri, perci quello del Sole varia in un ciclo di 365 giorni, mentre quello della Luna in un mese sinodico. La tavola XXIII delle Tavole Nautiche consente di calcolarlo in funzione dellaltezza apparente o istrumentale (equivalente alla nostra ho) misurata con il sestante, alla quale vanno apportate le correzioni dindice e istrumentale. Le EN riportano direttamente giorno per giorno i valori del semidiametro lunare e solare; ma, come detto per la parallasse e per la medesima ragione, conviene inserire nella formula dellaltezza vera il semidiametro medio. Questo per il Sole mediamente 01601 e per la Luna mediamente 01542,5 (Zagar 1984, p. 251), che possono cumulativamente essere arrotondati a 016 ciascuno. Il semidiametro va sottratto se si considerano la levata od il tramonto del lembo superiore del disco apparente del Sole e della Luna e va invece sommato se si considerano la levata od il tramonto del lembo inferiore. Per approfondimenti circa il semidiametro ed in generale per la trasformazione dellaltezza misurata od istrumentale in altezza vera si veda Flora 1987 capp. XI-XII-XIII.

In definitiva le formule archeoastronomiche per trasformare laltezza misurata ho in altezza vera hv con sufficiente precisione sono le seguenti:

 

h4) valida per le stelle ed in prima approssimazione:

hv = ho (0,03 * √Q) R

 

h5) valida per i pianeti:

hv = ho (0,03 * √Q) R + (Π● * cos ho)

 

h6) valida per Sole e Luna:

hv = ho (0,03 * √Q) R Sd + (Π o Π * cos ho).

 

Esse vanno eseguite esattamente nella sequenza indicata, a differenza di quanto descritto erroneamente in precedenza (Codeb 1997).

Esistono altre due formule per la correzione delle altezze misurate: quella geodetica e quella nautica (Codeb 2010). Sono pi precise perch trasformano la parallasse orizzontale equatoriale in parallasse locale in altezza, correggendo ho anche in funzione della latitudine dellosservatore, ma sono anche pi complicate. A causa di ci si sbagliano facilmente calcolandole con le tavole trigonometriche e con la calcolatrice, cio a mano. Devono quindi essere riservate allesecuzione di un programma scritto e testato, come il programma metodo nautico scritto da Agostino Frosini in linguaggio Java Script nel quale loperatore ha la possibilit di scegliere tra la formula semplificata, quella geodetica e quella nautica. Queste ultime due differiscono luna dallaltra nel risultato per soli decimali di secondi sessagesimali: sono quindi interscambiabili. La formula semplificata differisce invece dalle altre due per i secondi sessagesimali, ma la sua semplicit e quindi la minore probabilit di sbagliarla ne fanno la formula delezione nei calcoli a mano.

 

i) Infine si calcola la declinazione δ dellastro sconosciuto:

sen δ = sen φ * sen hv + cos φ * cos hv * cos A

se si conta lazimut da N;

sen δ = sen φ * sen hv cos φ * cos hv * cos A

se si conta lazimut da S;

sen δ = sen φ * cos z + cos φ * cos z * cos A

se si utilizza la distanza zenitale z contando lazimut A da N;

sen δ = sen φ * cos z cos φ * cos z * cos A

se si utilizza la distanza zenitale z contando lazimut A da S;

 

e con le tavole trigonometriche o con la funzione arcoseno si ricava δ.

Dal valore numerico della declinazione e dal suo segno algebrico si deduce di quale astro si tratta. Qui di seguito sono dati i valori (pressoch uguali sia per lalba che per il tramonto) che furono maggiormente oggetto di indagine nellantichit:

 

a)                  Sole al J2000.0

21/03 (equinozio di primavera): δ 0

21/06 (solstizio destate): δ +232621,448

23/09 (equinozio dautunno): δ 0

21/12 (solstizio dinverno): δ 232621,448.

 

Nellemisfero boreale il segno algebrico sar, ovviamente, + per la declinazione settentrionale (ossia estiva) e per quella meridionale (ossia invernale). Linverso in quello australe.

Per la Luna occorre sommare a 232621,448 il valore dellobliquit dellorbita lunare, pari mediamente a 509 con il suo segno algebrico, ottenendo +283521,45 al lunistizio massimo, 283521,45 al lunistizio minimo, +181721,45 al lunistizio intermedio maggiore e 181721,45 al lunistizio intermedio minore, secondo un ciclo che si ripete ogni 6798 giorni.

Per quanto riguarda le stelle, la loro declinazione propria per ciascuna e varia lentamente nel tempo per effetto della precessione degli equinozi e del moto proprio di ogni stella (Codeb 2011; 2012).

Per quanto invece riguarda i pianeti visibili ad occhio nudo i soli che interessano larcheoastronomia il loro moto ciclico e tende a diventare caotico col passare dei millenni. Essi comunque giacciono sulleclittica. La teoria planetaria troppo complessa per essere descritta qui. I lettori interessati possono leggerla in Meeus 1988 e 1990, capp. 22 25; 2005, capp. 30 33 e appendice III e in vari capitoli[13] dei cinque volumi Mathematical Astronomy Morsels di Jean Meeus. In ogni caso, i calcoli pi precisi circa il moto e le posizioni dei pianeti sono oggi facilmente ottenibili col software gratuito Solex 11.0 del dott. Aldo Vitagliano che utilizza lintegrazione numerica, probabilmente pi precisa, nei lunghi periodi di tempo tipici dellarcheoastronomia, della teoria VSOP87[14] di Bretagnon e Francou (Meeus 2005, pp. 217 221).

 

Le declinazioni odierne del Sole e della Luna si possono trasformare in quelle allepoca della costruzione del monumento con la formula di Laskar, che sufficientemente precisa fino a 10000 anni dal 2000 d. C.[15]:

U = T / 100

δantica = δhh, mm, ss + δ 11800,93 * (U) 00001,55 * (U) + 03319,25 * (U) 00051,38 + (U)4 00409,67 * (U)5 00039,05 * (U)6 + 00007,12 * (U)7 + 00027,87 * (U)8 + 00005,79 * (U)9 + 00002,45 * (U)10

 

 

Esempi numerici (di Mario Codeb)[16]

 

Esempio I)

Lesempio numerico che segue relativo al dolmen di Borgio Verezzi (SV) sul M. Caprazoppa (Codeb 1997a, pp. 735 751).

Nelle misurazioni sul terreno dellepoca, nellimpossibilit di misurare lazimut dellasse medio perch non identificabile a causa dello stato di conservazione del megalite, fu necessario misurare langolo α tra entrambi i lati esterni della costruzione ed il Sole. Ci fu reso possibile in una sola battuta (ossia con una sola misurazione angolare) grazie ad una procedura (il cui algoritmo sintetico riportato in Codeb 1997a, p. 737) appositamente elaborata da Mario Monaco, segretario dellAssociazione Astrofili Savonesi, che collabor alla campagna di rilevamento.

I dati iniziali furono:

giorno dellosservazione: 26/12/1994

ora civile locale tm: 12h53m35s

φ: 441023N

λ: 81852E

e: m. 302,5 s.l.m.

angolo α1: 570940

angolo α2: 484539

 

01) Tm (12h53m35s 01h00m00s) = 11h53m35s

 

02)[17]

Tm 11h00m00s del 26/12/1994:

Tv 34452,7+

Im 00h53m35s

Iv 01323,8+

ν 0,2

pp 00000,2=

Tv 11h53m35s del 26/12/1994

3581618

 

03)

Tv

3581618 +

φ

0081852E =

tv

3663510

riduzione al I quadrante

3600000

tv

0063510

 

04)[18]

δ 26/12/1994 Tm 11h00m00s

S 2321,8+

Im 00h53m00s d +0,1

pp 0000,1=

δ 26/12/1994 Tm 11h53m

232142

 

δ 26/12/1994 Tm 11h00m00s

S 2321,8+

Im 00h54m00s d +0,1

pp 0000,1=

δ 26/12/1994 Tm 11h54m

232142

 

quindi[19]:

δ 26/12/1996 Tm 11h53m35s = 232142

 

05) sen h = sen 232142 * sen 441022 + cos 232142 * cos 441022 * cos 63510

h = 221147,04

 

06) cos A = (sen 232142 sen 441022 * sen 221147,04) / (cos 441022 * cos 221147,04)

 

07) poich tv < 180, allora:

A = 360 1732812,5 = 1863147,5

 

08) Aallineamento1 = 1863147,5 570940 = 1292207,5

 

09)[20] hv = 0 [0,03 * √(302,5 + 1,65)] 03629 = 10752,51

 

10) sen δallineamento1 hv = sen 441022 * sen 10752,51 + cos 441022 * cos 10752,51 * cos 1292207,5

δallineamento1 hv = 275641,46

 

11) poich δallineamento1 hv ha un valore compreso tra la minima declinazione solare 232621,448 J2000.0[21], quale si verifica al solstizio dinverno, e la minima declinazione lunare 283521,45 009, quale si verifica ogni 6798 giorni al lunistizio minimo[22], si pu supporre che lasse di questo monumento sia orientato sul sorgere della Luna. Occorre quindi ripetere il calcolo di hv e di δ per i valori lunari corretti di semidiametro e parallasse orizzontale medi:

hv = 0 [0,03 * √(302,5 + 1,65)][23] 03629 + 016[24] + (05702,7 * cos 0)

hv = 00510,19[25]

 

12) sen δallineamento1 hv = sen 441022 * sen 00510,19 + cos 441022 * cos 00510,19 * cos 1292207,5

δallineamento1 hv = 265940,08

 

Dunque lazimut 1292207,5, calcolato a partire da un angolo misurato col Sole in data 26/12/1994, ora civile locale tm 12h53m35s, con altezza misurata di orizzonte 00000, corrispondente allorizzonte marino, sottende una declinazione δ1 = 265940,08, molto prossima alla declinazione lunare al lunistizio minimo 283521,45 009.

 

Esempio II)

Lidentico calcolo dellazimut del secondo angolo α2: 484539 d come risultato finale una declinazione sottesa δ2 = 320026,2, quindi la declinazione media sottesa dal dolmen δμ = 293003,14 σ 2,5. I lettori provino ad eseguire il calcolo da soli.

 

Esempio III)

Il giorno 24/06/2013, in localit φ 435621N e λ 75705,1E, alle ore tm 14h59m27s, con lo squadro sferico graduato e la livelletta Abney, sono stati misurati un angolo col Sole α 148,90g = 1340036 ed unaltezza ho = 2120. Calcolare la declinazione sottesa.

tm 14h00m00s = Tm 12h00m00s = Tv 35923,3 +

Im 00h59m27s = Iv 01451,8 +

ν 0,1 = pp 00000,1 =

Tv = 3741500

riduzione al I quadrante = 3600000 =

Tv = 0141500,0 +

λ = 0075705,1 =

tv = 0221205,1

 

δ UT 12h00m00s = +2323,9 +

Im 00h59m00s d 0,0 = pp 0000,0 =

δ UT 12h00m00s = 2323,9

 

Poich per δ UT 13h00m00s = 2323,8 occorre interpolare:

δ UT 13h00m00s = +2323,8 +

Im 00h59m00s d 0,0 = pp 0000,0 =

δ UT 13h00m00s = 2323,8

δ 2323,9 δ 2323,8 = 000,1

Si trasformano le unit di tempo in gradi sessagesimali moltiplicandole per 15:

UT 13h00m00s UT 12h00m00s = 1h = 15

1h00m00s 0h59m27s = 0h00m33s * 15 = 00815

E si riducono tutti i valori alla medesima unit: i secondi sessagesimali:

15 = 3600

000,1 = 00006

Ora si effettua una proporzione:

3600 : 00006 = 00815 : X

X = (0006 * 00815) / 3600 = 00000,06

Si sottrae X da δ UT 13h00m00s:

2323,8 00000,06 = 232347,94

Quindi δ UT 12h59m27s = 232347,94

Naturalmente, essendo la differenza tra UT 12h59m27s e UT 13h00m00s di soli 33s, si poteva assumere per δ UT 12h59m27s lo stesso valore di δ UT 13h00m00s senza apprezzabile errore. Diverso sarebbe stato il caso in cui la differenza di orario fosse stata per esempio di mezzora = 730: in caso di medie e forti differenze di tempo linterpolazione diventa obbligatoria.

 

Ora si calcola laltezza del Sole h nellistante della misurazione:

sen h = sen 232347,94 * sen 435621,2 + cos 232347,94 * cos 435621,2 * cos 221205,1

h = 623300,98

 

Ora si calcola lazimut del Sole nellistante della misurazione:

cos A1 = (sen 232347,94 sen 435621,2 * sen 623300,98) / (cos 435621,2 * cos 623300,98)

A1 = 1311231,19

Poich tv < 180, allora A = 360 A1:

A = 360 1311231,19 = 2284728,81

Al valore di A si aggiunge algebricamente il valore di α per ottenere lazimut esatto dellallineamento. In questo caso, poich il Sole era gi transitato sullallineamento, α va sottratto:

Aa = 2284728,81 1340036 = 944652,81

 

Ora si calcola laltezza vera hv

hv = 2120 0,03 * √(436 + 1,65) 00228 = 203952,63

e la relativa declinazione sottesa:

sen δallineamento hv = (sen 435621,2 * sen 203952,63 + cos 435621,2 * cos 203952,63 * cos 944652,81)

δallineamento hv = 105239,97

Poich questo valore uno di quelli assunti dal Sole nel corso dellanno ed invece inferiore a quelli minimi assunti dalla Luna (1818), si ripete il calcolo con hv:

hv = 2120 0,03 * √(436 + 1,65) 00228 + 015,7 + (00008,794148 * cos 2120) = 205542,82

sen δallineamento hv = sen 435621,2 * sen 205542,82 + cos 435621,2 * cos 205542,82 * cos 944652,81

δallineamento hv = 110328,44 (declinazione assunta dal Sole alle date 18/04 e 24/08/ 2013).

 

 

 

 

Algoritmo sintetico (di Mario Codeb)

 

1) calcolo dellangolo orario locale del Sole o tv

tm fuso orario locale E o + fuso orario locale W = Tm

Tm h: Tv h +

Im mm e ss: Iv +

ν: pp =

TV hh, mm, ss

 

Tv hh, mm, ss +

+ λ E; λ W =

tv

 

2) calcolo della declinazione del Sole

δhh +

Im mm inferiori d =

δhh, mm inferiori

 

δhh +

Im mm superiori d =

δhh, mm superiori

 

δhh, mm, ss = interpolazione tra δhh mm inferiori e δhh mm superiori

 

3) calcolo dellaltezza geometrica dellastro

sen h = sen δ sen φ + cos δ cos φ cos tv

 

4) calcolo dellazimut del Sole (contato da Nord)

cos A = (sen δ sen φ sen h) / (cos φ cos h)

se tv > 180, allora A1 = A

se tv < 180, allora A1 = 360 A

 

5) calcolo dellallineamento del monumento

Aa = A1 Am

 

6) riduzione di ho in hv

hv e = ho 0,03Q R Sd + (Π cos ho)

hv● = ho 0,03Q R + (Π● * cos ho)

hv = ho 0,03Q R

 

7) calcolo della declinazione sottesa al momento della misurazione (da N)

sen δ = sen φ sen hv + cos φ cos hv cos Aa

 

8) eventuale riduzione della declinazione allepoca della costruzione del monumento (formula di Laskar)

{[(JD 2451545,0) / 36525] / 100} = U

 

δhh, mm, ss + δ 11800,93 * (U) 00001,55 * (U) + 03319,25 * (U) 00051,38 + (U)4 00409,67 * (U)5 00039,05 * (U)6 + 00007,12 * (U)7 + 00027,87 * (U)8 + 00005,79 * (U)9 + 00002,45 * (U)10

 

 

Presentazione del software di calcolo il Metodo Nautico (di Agostino Frosini)

 

Questo programma calcola la declinazione sottesa dallazimut di un monumento utilizzando le Effemeridi Nautiche dellI.I.M. per il calcolo dellazimut del Sole in un preciso istante UT.

Il Software, assieme ad altri oggi pubblicato sul sito:

http://www.archaeoastronomy.it/nostre_ricerche.htm

Potrete utilizzarlo online oppure scaricarlo gratuitamente ed eseguirlo sul vostro PC.

Lelaborato stato scritto in linguaggio Javascript perch compatibile con tutti i browser web che supportano questo tipo di tecnologia.

Essendo un codice eseguibile il vostro browser potrebbe bloccarlo chiedendovi se consentirne lesecuzione.

Il Software stato testato con i seguenti Browser Web: Internet Explorer, Google Chrome, Opera, Safari, e Mozilla con ottimi risultati (c qualche piccola differenza grafica). Sorprendentemente il sistema funziona anche con gli smartphone di ultima generazione in quanto i browser web caricati dai sistemi operativi moderni tipo Android, Apple e Windows Mobile, pur essendo sviluppati con funzioni minime, posseggono il linguaggio Javascript.

La pagina contiene zone destinate allimmissione dei dati e zone per la visualizzazione dei risultati; questultime sono disabilitate quindi non sono soggette allinserimento accidentale dei dati.

Nel sottotitolo avete un link agli algoritmi utilizzati: qui troverete tutte le formule del programma, potrete visualizzare il tipo di sequenza di calcolo che stata sviluppata e quali algoritmi sono presenti allinterno del sistema.

Prima di inserire i valori nei campi, almeno per le prime volte, utile cliccare sui pulsanti ? questi aprono una finestra che spiega in che modo vanno inseriti i valori.

E importante che inseriate nei campi solo numeri positivi e separiate i decimali con il punto; per i dati negativi avete a disposizione i pulsanti per il cambio del segno.

Nella prima parte della schermata, dopo aver compilato i campi Sito e Note secondo le vostre esigenze, dovrete inserire i dati relativi allorario di osservazione, alla posizione geografica del sito e allazimut misurato; a questo proposito presente un piccolo programma interno per convertire i gradi quattrocentesimali, utilizzati dagli strumenti topografici pi comuni, in gradi sessagesimali necessari per il calcolo (Pulsante Converti). I pulsanti con i punti interrogativi spiegano nel dettaglio i valori da inserire.

 

Cattura.JPG

 


La seconda parte di inserimento relativa ai dati necessari, in funzione dellorario UT di osservazione, reperibili nelle Effemeridi Nautiche dellI.I.M.. I pulsanti con i punti interrogativi spiegano nel dettaglio i valori da estrarre dal libro delle Effemeridi.

Cattura_1.PNG

 

La terza e quarta parte degli inserimenti dedicata alla scelta delle formule da utilizzare per il calcolo dellaltezza vera dellastro, ai parametri di correzione per la quota e rifrazione media[26] ed infine alla scelta del corpo celeste.

 

Cattura_2.PNG

 

Una volta inseriti tutti i dati cliccate sul pulsante Calcola per ottenere i risultati: azimut del Sole, azimut dellallineamento, declinazione sottesa dallallineamento e declinazione sottesa dallallineamento opposto ovvero (reciproco). In questo programma avete la possibilit, dopo aver premuto il pulsante Calcola, di utilizzare anche i pulsanti sottostanti di cui fornisco ora una breve descrizione:

Tabella Risultati : questo pulsante visualizza una pagina web contenente tutti i risultati degli algoritmi che il programma esegue al suo interno; il link Stampa funziona solamente se il Vostro PC collegato ad una stampante ed il link Esporta in Excel funziona solo se utilizzate il browser Internet Explorer, in quanto il comando di esportazione non riconosciuto dagli altri browser; ad ogni modo potete comunque selezionare tutta la pagina e copiarla in un qualunque elaboratore di testi tipo Word.

Lista Risultati: questo pulsante visualizza una pagina web contenente tutti i risultati degli algoritmi che il programma esegue al suo interno ma questa volta, a differenza di Tabella Risultati, la formattazione della tabella molto pi spartana della precedente (in formato testo) e consente quindi il copia/incolla dei dati anche su un comune Notepad di Windows.

Esporta: questo pulsante funziona solo se il programma stato scaricato e decompresso sul vostro Hard Disk e solo se si utilizza il browser Internet Explorer, il pulsante creer il file dati_calcolo_nautico.txt nellHard Disk C:\.

 

Dopo aver visualizzato i risultati delle declinazioni sottese dallallineamento e riferite alla data di osservazione, avete a disposizione un ulteriore programma che calcola le declinazioni sottese dallallineamento riferite ad unepoca di nota o stimata costruzione del monumento: inserite la data e cliccate sul pulsante Calcola.

In seguito sar possibile anche visualizzare le variazioni di declinazioni di 50 in 50 anni precedenti allepoca inserita cliccando sul pulsante +/ 50 anni.

Il pulsante Reset azzera tutti i campi, risultati compresi.

 

Cattura_4.PNG


 

Gli algoritmi utilizzati dal programma sono i seguenti:

 

Calcolo del tempo vero del Sole

Con i dati inseriti presi dalle Effemeridi Tv, Iv e parti proporzionali (ν) il programma calcola il tempo vero locale tv del Sole

Tv = Tv + Iv (ν)

tv = Tv longitudine

Se tv > 180 si sottrae da 360

 

Calcolo della declinazione del Sole

Con i dati inseriti presi dalle Effemeridi di δ e pp il programma calcola la declinazione solare δ vera.

Le parti proporzionali (d) sono interpolate tra il minuto di UT in corso e quello successivo a seconda dei secondi di UT inseriti; allo scopo viene utilizzata la seguente formula:

Δpp = pp minuto UT successivo pp minuto UT in corso

pp interpolate = Δpp * secondi di UT / 60 + pp minuti UT in corso

le parti proporzionali vengono poi trasformate in gradi decimali:

pp(dec) = pp interpolate / 60

δ vera = δ pp (dec)

 

Calcolo dellaltezza e dellazimut del Sole

Altezza del Sole

h = arcsen (sen φ * sen δ + cos φ * cos δ * cos tv)

Azimut del Sole

cos A = (sen δ sen φ * sen h) / (cos φ * cos h)

 

Calcolo azimut dellallineamento del monumento

Aa = A + ( azimut misurato)

 

Calcolo della correzione delle altezze vere di stella, pianeta, Sole e Luna

(ho = altezza osservata; Q = quota media sul livello del mare + altezza dal suolo dellocchio dellosservatore[27]; R = rifrazione atmosferica media; P = parallasse[28]; Sd = semidiametro del Sole o della Luna; φ = latitudine dellosservatore)

 

Formule semplificate[29]:

Altezza vera di stella

hv = ho 0,03 * (√Q) R

Altezza vera di pianeta
hv = ho 0,03 * (√Q) R + (P * cos ho)
Altezza vera di Sole o Luna

hv = ho 0,03 * (√Q) R Sd + (P * cos ho)

 

Formule Nautiche

Altezza vera di stella

hv = ho 0,03 * (√Q) R

Altezza vera di pianeta

hv = ho 0,03 * (√Q) R + arcsen {sen [P P * (1 298,257) * (sen φ)] * cos (ho 0,03 * (√Q) R)}

Altezza vera di Sole o Luna

hv = ho 0,03 * (√Q) R Sd [1 + sen (ho 0,03 * (√Q) R) * sen P] + arcsen {sen [P P * (1 / 298,257) * (sen φ)] * cos (ho 0,03 * (√Q) * R)}

 

Formule Geodetiche

Altezza vera di stella

hv = ho 0,03 * (√Q) R

Altezza vera di pianeta

hv = ho 0,03 * (√Q) R + arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 * cos (2 * φ) 0,0000035 * cos (4 * φ)] * sen P * cos (ho 0,03 * (√Q) R)}

Altezza vera di Sole o Luna

hv = ho 0,03 * (√Q) R Sd {1 + sen [ho 0,03 * (√Q) R] * sen P} + arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 * cos (2 * φ) 0,0000035 * cos (4 * φ)] * sen P * cos (ho 0,03 * (√Q) R)}

 

Calcolo della declinazione sottesa dallallineamento misurato all'epoca attuale

δa = arcsen (sen φ * sen hv + cos φ * cos hv * cos Aa)

 

Calcolo della declinazione sottesa dallallineamento misurato allepoca di presunta costruzione del monumento

Per questo calcolo il programma calcola il numero di secoli giuliani intercorsi tra lepoca di presunta costruzione del monumento e lepoca standard J2000 pari a JD2451545,0 ottenendo quindi il parametro di calcolo T1 con la seguente formula:

T1 = (JD Epoca 2451545,0) / 36525

Dopodich il programma calcola la declinazione sottesa dallallineamento del monumento risultante allepoca di presunta costruzione dello stesso tenendo in considerazione lobliquit delleclittica ottenuta con la formula di Laskar:

δa1 = δa 11800,93 * (U) 00001,55 * (U) + 03319,25 * (U) 00051,38 + (U)4 00409,67 * (U)5 00039,05 * (U)6 + 00007,12 * (U)7 + 00027,87 * (U)8 + 00005,79 * (U)9 + 00002,45 * (U)10

(dove U = T1/100).

 

Per qualsiasi dubbio, domande, segnalazioni di errori ortografici e/o di calcolo non esitate a contattarmi ago.pax@libero.it . Il Programma volutamente messo a disposizione gratuitamente per poter essere testato dal maggior numero possibile di persone.

 

 

BIBLIOGRAFIA

 

        AA.VV. (1976-1987). Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi, Hoepli, Milano.

  • Codeb Mario (1997). Problemi generali del rilevamento archeoastronomico, Atti I Seminario A.L.S.S.A., Genova.

        Codeb Mario (1997a). Prime indagini archeoastronomiche in Liguria, memorie S.A.It. 68, n. 3.

        Codeb Mario (2010). Lalgoritmo giuliano del Sole, Atti XII Seminario A.L.S.S.A., Genova.

  • Codeb Mario (2011). Il calcolo FK4 B1950.0 della precessione delle stelle, Atti XIII Seminario A.L.S.S.A., Genova.
  • Codeb Mario (2012). Il calcolo FK4 B1900.0 della precessione delle stelle, Atti XIV Seminario A.L.S.S.A., Genova.

        Flora Ferdinando (1987). Astronomia nautica, Hoepli, Milano.

  • Lenzi Ernesto. (1967). Determinazioni astronomiche speditive, I.G.M., Firenze.
  • Meeus Jean (1988). Astronomical formulae for calculators, Willmann-Bell Inc., Richmond, Virginia, U.S.A..
  • Meeus Jean (1990). Astronomia con il computer, Hoepli, Milano.

        Meeus Jean (1998). Astronomical algorithms, Willmann-Bell Inc., Richmond, Virginia, U.S.A..

        Meeus Jean (2005) Astronomical algorithms, 2nd edition, Willmann-Bell Inc., Richmond, Virginia, U.S.A.

        Smart William Marshall. (1977). Textbook on Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge, U.K..

        Tavole Nautiche. I.I.M., Genova, 1961.

        Zagar Francesco (1984). Astronomia sferica e teorica, Zanichelli, Bologna.

 

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[1] Il presente articolo corregge, a tutti gli effetti, gli errori presenti in quello precedente (Codeb 1997).

[2] Si pu indicare anche con Q.

[3] Bench i valori numerici siano sostanzialmente gli stessi (a meno di arrotondamenti), le Effemeridi Nautiche EN di qualsiasi nazionalit differiscono dalle Effemeridi Astronomiche EA (in inglese Astronomical Almanac AA) per parecchi dettagli, i principali dei quali sono: nelle EN sono riportati i dati di Tv e δ per ogni ora di ogni giorno dellanno di Sole, Luna e quattro pianeti visibili ad occhio nudo (Venere, Marte, Giove e Saturno), escludendo quindi i pianeti di difficile osservazione (Mercurio) e quelli invisibili ad occhio nudo (Urano, Nettuno, Plutone, corpi ultraplutoniani, asteroidi, comete, ecc.); sono inoltre presenti apposite tavole che accelerano molto i calcoli. Nelle Effemeridi Astronomiche EA, invece, gli stessi dati sono riportati per la sola mezzanotte di ogni giorno dellanno (quindi per tutti gli altri orari devono essere interpolati) e per tutti i corpi celesti visibili ed invisibili ad occhio nudo. In sintesi: le EN sono meno complete ma semplificano enormemente i calcoli, mentre le EA sono assai pi complete ma altrettanto complesse. Per gli scopi dellarcheoastronomia che si riferisce allastronomia ad occhio nudo delle culture del passato, le EN si sono rivelate le migliori.

[4] E scorretto definire il Tempo Universale di Greenwich UT come Greenwich Mean Time perch, per definizione, UT comincia alla mezzanotte mentre GMT al mezzogiorno. Quindi tra UT e GMT c una differenza di 12 ore. Caso mai, UT pu correttamente definirsi Greenwich Civil Time GCT, ma in nessun caso GMT!

[5] Nel metodo JD, invece, la longitudine positiva ad Ovest e negativa ad Est (Codeb 2010).

[6] Un decimale scritto tra parentesi indica che esso periodico. Un altro modo per scrivere un decimale scriverlo sormontato da un tratto . Un numero decimale periodico che sempre un numero razionale decimale, cio esprimibile con una frazione pu essere semplice o misto. E semplice quando subito dopo la virgola segue il decimale periodico; misto quando, dopo la virgola e prima del decimale periodico, ci sono una o pi cifre decimali (dette antiperiodo) che non si ripetono allinfinito. Quindi un numero decimale periodico costituito dalle seguenti parti: la parte intera (prima della virgola), leventuale antiperiodo (parte decimale che non si ripete) ed il periodo (parte decimale che si ripete allinfinito). La parte periodica pu essere costituita da una o pi cifre.

[7] Da una funzione trigonometrica (seno, coseno, tangente, secante, cosecante e cotangente) si risale al corrispondente in gradi, primi e secondi sessagesimali o tramite le tavole delle funzioni trigonometriche e dei logaritmi (seguendone le istruzioni annesse), o con le calcolatrici scientifiche tramite la funzione arcoseno, arco, coseno ed arcotangente (spesso indicate impropriamente con la sigla: sen-1, cos-1 e tan-1 (che, a stretto rigore, sono in realt il simbolo del reciproco, ossia la cosecante, la secante e la cotangente), mentre per calcolare cosecante, secante e cotangente di un valore X occorre digitare rispettivamente: sen-1 (1/X), cos-1 (1/X), tan-1 (1/X).

[8] Pi avanti si vedr che Agostino Frosini ha scritto questa formula un po diversamente, ma il risultato lo stesso. Infatti la formula calcola il seno dellaltezza sen h da cui poi bisogna comunque ricavare larcoseno arse. Inoltre Frosini inverte i fattori delle due moltiplicazioni; ci perfettamente lecito perch la moltiplicazione come laddizione gode della propriet commutativa: 2*3 o 3*2 d sempre come risultato 6! Quindi scrivere

sen h = sen δ * sen φ + cos δ * cos φ * cos tv

oppure

h = senφ * sen δ + cos φ * cos δ * cos tv

la stessa cosa ed il risultato lo stesso

 

[9] Detto anche: raggio angolare.

[10] La relazione che lega h e z tra loro la seguente:

z = 90 ( h)

dove laltezza considerata positiva se lastro sopra lorizzonte e negativa se sotto di esso.

[11] Essa la seguente: R2 = 1/tan {ho + [7,31 / (ho + 4,4) ]}; R3 = -0,06 * sen (14,7 * R1 + 13); R1 = R2 + R3; R = R1 * {(P / 1010) * [283 / (273 + T)]}, dove P = pressione atmosferica in millibars e T = temperatura in gradi Celsius.

[12] Errore massimo: 0,9. La formula d R = -0000,08 per ho = 90 invece del corretto valore R = 00000. Per correggerla basta aggiungere 0,0013515 a 1/tan {ho + [7,31 / (ho + 4,4) ]}.

[13] Principalmente sotto i nomi dei singoli pianeti.

[14] E successive integrazioni.

[15] Le differenze sono comunque modeste, perch lobliquit delleclittica, responsabile di queste variazioni di declinazione e di azimut, varia di circa 0,47 allanno.

[16] In questo esempio numerico sono stati corretti gli errori presenti in Codeb 1997.

[17] Le Effemeridi Nautiche danno i gradi, i primi ed i decimali di primi. In questo esempio i dati sono riportati esattamente come in esse.

[18] Il Sole ha declinazione positiva dallequinozio di primavera a quello di autunno e declinazione negativa da quello di autunno a quello di primavera. La sua declinazione positiva massima JD 2000.0 +232621,448 raggiunta al solstizio estivo e quella minima JD 2000.0 -232621,448 al solstizio invernale.

[19] In questo caso, le parti proporzionali pp per d +0,1 nelle pagine colorate sono uguali sia per 53m che per 54m. Se fossero state diverse, sarebbe stato necessario calcolare i due valori per 53m e per 54m e poi interpolarli in proporzione ai secondi di Tm. Allatto pratico, quando i due valori sono uguali, come in questo caso, si esegue il solo calcolo per difetto (qui si sono eseguiti entrambi i calcoli per puro scopo didattico).

[20] Si prova prima convertendo laltezza misurata ho in altezza vera hv di una stella, cio senza apportare correzioni per semidiametro e per parallasse.

[21] Il termine di riferimento la declinazione solare al J2000.0. In precedenza si usava quella B1950.0 ed in futuro si user quella J2050.0. In ogni caso, la declinazione del Sole in un secolo varia molto poco e volendola ottenere esatta per il 1994, anno della misurazione, basta calcolarla con la formula di Laskar.

[22] Si ricorda che per calcolare la variazione nel tempo della declinazione lunare sufficiente, in prima approssimazione, calcolare la variazione della somma algebrica δ (inclinazione 509 009) con la formula di Laskar. Tuttavia la complessit del moto lunare non consente questo calcolo cos semplice per lunghe distanze di tempo.

[23] M. 1,65 laltezza dellocchio dellosservatore rispetto al suolo, il quale a sua volta ha una quota di m. 302,5 sul livello del mare.

[24] Aggiungiamo il semidiametro perch scegliamo di considerare laltezza dellintero disco, quindi del suo lembo inferiore. Avremmo sottratto il semidiametro se avessimo voluto considerare lapparizione del primo bagliore solare, cio del suo lembo superiore.

[25] N.B.: in questa occasione, per un complesso di motivi, non si corretta la rifrazione per la temperatura e la pressione barometrica. Conviene, invece, farlo sempre.

 

[26] Si ricorda che la rifrazione media pu essere calcolata con la formula di Bennet o desunta dalla Tavola XXII delle Tavole Nautiche dellI.I.M..

[27] Q nel programma in Javascript Metodo Nautico corrisponde ad e usato da Codeb in questo articolo.

[28] P nel programma in Javascript Metodo Nautico corrisponde ad Π usato da Codeb in questo articolo.

[29] Nota di M. Codeb: le formule semplificate si limitano a trasformare la parallasse equatoriale media orizzontale in parallasse equatoriale media in altezza; questa semplice formula adatta al calcolo manuale (cio eseguito passo passo con la calcolatrice o con le tavole dei logaritmi). Le formule nautiche e geodetiche trasformano la parallasse equatoriale media orizzontale in parallasse media locale in altezza: cio tengono conto anche della latitudine dellosservatore; queste formule sono pi precise ma pi complesse. Si noti che mentre le formule di hv nautiche e geodetiche differiscono tra loro solo nei decimali del risultato, esse differiscono dalle formule di hv semplificate nei secondi e relativi decimali, a testimonianza della loro maggiore precisione rispetto a queste ultime. Tuttavia, a causa della loro complessit, provocano con estrema facilit errori nel calcolo a mano e sono quindi adatte al solo calcolo programmato.