ARCHEOASTRONOMIA LIGUSTICA
Pubblicato in: Atti del XII seminario A.L.S.S.A. di Archeoastronomia, Genova 17-18 aprile 2010.
L'ALGORITMO
GIULIANO DEL SOLE (Metodo JDE[1])
Mario Codebò
A differenza del Metodo Nautico, già descritto in passato sugli Atti del I seminario A.L.S.S.A. (Codebò 1997b, pp. 39 - 109), il Metodo del Giorno Giuliano[2] (Metodo JDE[3]) offre il vantaggio di calcolare l'azimut del Sole e la declinazione sottesa dall'allineamento archeoastronomico senza richiedere l'uso di alcun almanacco astronomico. Bastano:
1) la data, espressa in Giorni Giuliani JDE, in cui è stata eseguita la misurazione;
2) le coordinate geografiche del sito: latitudine = φ e longitudine = λ;
3) l'altezza osservata ho con tutte le sue note correzioni Q, R, Sd, P;
4) l'angolo misurato istrumentalmente Ai.
I risultati hanno una precisione nominale di ± 0°00'36", pressoché uguale a quella ottenibile con il Metodo Nautico - che però richiede l'uso dell'almanacco astronomico - e decisamente inferiore a quella ottenibile (nominalmente: 0,01") con le estremamente più complesse teorie VSOP 82 od 87[4].
Il Metodo del Giorno Giuliano JDE è poco adatto al calcolo non programmato, perché, data la complessità delle sue formule, causa facilmente errori di scrittura. E' invece particolarmente adatto alla programmazione, sia con le calcolatrici, sia con i fogli di calcolo (tipo Excel), sia con i linguaggi informatici tipo Basic, Fortran, ecc.: utilizzando la programmazione, basta introdurre i pochi valori d'input richiesti per ottenere in alcuni secondi i risultati. E' quindi molto più veloce del Metodo Nautico (che però è più agevole e sicuro quando non si opera per mezzo della programmazione perché più difficilmente causa errori e, quando ciò avviene, ci se ne accorge facilmente).
Per cominciare, si scrive la data nella forma di anno AAAA, mese MM, giorno DD e ore in forma di decimali dddd del giorno: AAAAMMDDdddd[5]. Per trasformare le ore sessagesimali in decimali basta dividerle per 24. Analogamente, per trasformare le ore decimali in sessagesimali basta moltiplicarle per 24. Si calcola poi il Giorno Giuliano JDE con una delle formule riportate più avanti, nelle quali INT significa la sola parte intera di un numero, mentre i decimali si trascurano. Per esempio, in INT 3,14 la parte intera è 3 che viene utilizzato nel calcolo successivo, mentre 0,14 è la parte decimale da omettere. Nelle calcolatrici scientifiche esiste un'apposita funzione INT.
Il Giorno Giuliano JDE è una numerazione molto usata nei calcoli astronomici e creata nel 1582 dall'umanista Joseph Juste Scaliger, detto Scaligero. Parte dal mezzogiorno TD (= Universal Time, ossia sul meridiano di Greenwich) del 1 gennaio 4713 a. C., cui corrisponde JDE = 0 e va avanti all'infinito. Il JDE del 01/01/2000 ore 12 UTC[6] è 2451545,0. Le seguenti quattro formule - tratte da Meeus 1990, cap. III, e 2005, cap. 7 - sono valide per qualsiasi Giorno Giuliano positivo, ma non per i Giorni Giuliani negativi (ossia antecedenti al 01/01/4713 UTC 12h 00m 00s a. C.). Si ricordi inoltre che nei calcoli astronomici, a differenza della cronologia storica, esiste l'anno 0 (zero) tra l'anno 1 a. C. e l'anno 1 d. C. e che gli anni d. C. sono indicati come anni positivi preceduti dal segno +, a partire dall'anno +1 e quelli a. C. sono indicati come anni negativi preceduti dal segno - a partire dall'anno 0. Perciò, l'anno 1 d. C. sarà indicato come +1 e l'anno 1 a. C. sarà indicato come anno 0; l'anno 2 d. C. sarà indicato come +2 e l'anno 2 a. C. come -1; ecc. In pratica, gli anno d. C. della cronologia storica sono identici a quelli della cronologia astronomica, mentre quelli a. C. della cronologia storica sono uno in più rispetto a quelli della cronologia astronomica perché quest'ultima parte dall'anno 0 che non esiste nella cronologia storica.
Se la data da calcolare in JDE è uguale o posteriore al 15/10/1582 (inizio del calendario gregoriano) ed il mese MM è compreso tra marzo (MM = 03) e dicembre (MM = 12), si usa il seguente algoritmo:
INT [365,25 × (AAAA + 4716)] + INT [30,6001 × (MM + 1)] + DD,dddd[7] + {2 - INT (AAAA ÷ 100) + INT [(AAAA ÷ 100) ÷ 4]} - 1524,5
Se tale data è anteriore al 15/10/1582 ed il mese MM è compreso tra marzo (MM = 03) e dicembre (MM = 12), si usa il seguente algoritmo:
INT [365,25 × (AAAA + 4716)] + INT
[30,6001 × (MM + 1)] + DD,dddd - 1524,5
Se tale data è uguale o posteriore al 15/10/1582 ed il mese MM è gennaio (MM = 01) o febbraio (MM = 02) si usa il seguente algoritmo:
INT [365,25 × (AAAA - 1 + 4716)] + INT [30,6001 × (MM + 12 + 1)] + DD,dddd + {2 - INT [(AAAA - 1) ÷ 100] + INT {[(AAAA - 1) ÷ 100] ÷ 4}} - 1524,5
Se la data è anteriore al 15/10/1582 ed il mese MM è gennaio (MM = 01) o febbraio (MM = 02) si usa il seguente algoritmo:
INT [365,25 × (AAAA - 1 + 4716)] + INT
[30,6001 × (MM + 12 + 1)] + DD,dddd - 1524,5
Si calcola poi il tempo T in Secoli Giuliani (in archeoastronomia praticamente sempre un numero negativo!) che intercorre tra il JDE dell'epoca standard J2000,0[8] = 2451545,0 ed il JDE della data della misurazione, ottenuto con quella appropriata delle quattro precedenti formule:
T = (JDE - 2451545,0) ÷ 36525
Si calcola la longitudine geometrica media Lm del Sole, riferita all'equinozio medio della data:
Lm = 280,46646° + 36000,76983° × (T) + 0,0003032° × (T)²
Si calcola l'anomalia media M del Sole:
M = 357,52911° + 35999,05029° × (T) - 0,0001537° × (T)²
Si calcola l'equazione del centro C del Sole:
C = [1,914602° - 0,004817° × (T) - 0,000014° × (T)²] × sen M° + [0,019993° - 0,000101° × (T)] × sen (2 × M°) + 0,000289° × sen (3 × M°)
Si calcola la longitudine vera Lv del Sole:
Lv = Lm + C
Si calcola la longitudine apparente La del Sole:
La = Lv - 0,00569° - 0,00478° × sen (125,04° - 1934,136° × T)
Si calcola l'obliquità dell'eclittica ε con la formula di Laskar:
ε = 23°26'21,448" - 0°00'4680,93" × (U) - 0°00'01,55" × (U)² + 0°00'1999,25" × (U)³ - 0°00'51,38" × (U)ˆ4 - 0°00'249,67" × (U)ˆ5 - 0°00'39,05" × (U)ˆ6 + 0°00'07,12" × (U)ˆ7 + 0°00'27,87" × (U)ˆ8 + 0°00'05,79" × (U)ˆ9 + 0°00'02,45" × (U)ˆ10
dove U = T ÷ 100
Notare che 23°26'21,448" è l'obliquità dell'eclittica al J2000,0, data standard di riferimento (le precedenti date standard di riferimento furono quelle del 1950 e del 1900. La prossima sarà quella del 2050). Il presente algoritmo del Metodo JDE è utilizzabile solo con la data standard J2000,0, perché per altre date standard cambiano i coefficienti numerici! U è un'unità di tempo in cui 1 = 10000 anni, 0,9 = 9000 anni, ecc. prima (segno -) o dopo (segno +) la data dell'equinozio standard J2000,0. Perciò, a titolo di esempio, nell'8000 a. C. (ossia 10000 anni prima del 2000 d. C.) U = -1, nel 7000 a. C. (ossia 7000 anni prima del 2000 d. C.) U = -0,9; nel 1000 d. C. (ossia 1000 anni prima del 2000 d. C.) U = -0,1; nel sec. XIX d. C. U = -0,01; nel 3500 d. C. U = +0,15, ecc. Di fatto e come detto sopra, U si calcola con la seguente formula:
U = T ÷ 100
Gli anni del passato hanno segno - e quelli del futuro hanno segno +.
Si calcola ora la declinazione δ¤ del Sole:
δ¤ = arcsen (sen ε × sen La).
Si calcola l'eccentricità Ec dell'orbita terrestre:
Ec = 0,016708634 - 0,000042037 × (T) - 0,0000001267 × (T)².
Si calcola l'equazione del tempo medio ET (in cui ET = tv - tm), ottenendola, con questa formula, in radianti[9]:
ET rad = [tan (ε ÷ 2)]² × sen
(2 × Lm) - 2 × Ec × sen M + (4 × Ec) × [tan (ε ÷ 2)]² × sen M × cos (2 × Lm) - (1 ÷ 2) × [tan
(ε ÷ 2)]ˆ4 × sen
(4 × Lm) - (5 ÷ 4) × (Ec)² × sen (2 × M).
Notare che ET è qui data come tempo vero locale tv meno tempo medio locale tm[10]: ET = tv - tm. E' quindi l'equazione del tempo medio. Secondo un'altra convenzione, ugualmente valida e seguita nelle Effemeridi Nautiche Italiane dell'I.I.M., ET = tm - tv cioè ET = equazione del tempo vero. Ma nell'algoritmo del Metodo JDE deve sempre essere considerata come ET = tv - tm.
Si trasforma ET radianti in gradi sessagesimali:
ET° = (180° × ET rad) ÷ π
dove il valore π (P greco), con undici cifre decimali, è 3,14159265359.
Si calcola in gradi sessagesimali l'angolo orario H¤ del Sole:
H¤° = [(UTC - 12h00m00s) × 15] - (± λ°) + (±
ET°)
dove UTC è il Tempo Coordinato Universale in ore h, minuti m e secondi s dell'osservazione locale tm ridotta al fuso orario di Greenwich. La moltiplicazione di UTC per 15 trasforma UTC in gradi sessagesimali.
A differenza di quanto avviene nel Metodo Nautico, qui la longitudine del luogo di osservazione va inserita col segno - se è orientale (λ E = -) e col segno + se è occidentale (λ W = +).
La formula di H¤° qui sopra si utilizza quando ET = tv - tm. Se ET = tm - tv (ma in tal caso vanno invertiti i segni della formula per il calcolo di ET), allora:
H¤° = [(TD - 12) × 15] - (± λ°) - (ET × 15)
Tuttavia, come detto sopra, nel Metodo JDE è sempre ET = tv - tm.
Si calcola l'altezza geometrica h¤ del centro del Sole:
h¤° = arcsen (sen φ × sen δ¤ + cos φ × cos δ¤ × cos H¤)
Notare che φ è la latitudine del luogo di osservazione, positiva verso il Polo Nord e negativa verso il Polo Sud partendo dall'equatore.
Si calcola l'azimut A¤ del Sole, calcolando prima:
A¤1 = arcos [(sen δ¤ - sen φ × sen h¤) ÷ (cos φ × cos h¤)]
oppure:
A¤1 = arcos [(sen φ × cos Z - sen δ¤) ÷ (cos φ × cos Z)]
se si utilizza la distanza zenitale Z = 90° - h¤
Poi:
A¤° = A¤°1 se H¤° > 180°
e
A¤° = 360° - A¤°1 se H¤° < 180°
Con quest'ultima formula (in cui l'azimut A¤ è contato da Nord in senso orario, ossia: N = 360° = 0°; E = 90°; S = 180°; W = 270°) si ottiene l'azimut del Sole A¤ nell'istante della misurazione.
Si calcola quindi l'azimut Aa dell'allineamento sommando algebricamente ad A¤ l'angolo istrumentale (ossia misurato con lo strumento) Ai:
Aa = A¤ + (± Ai)
Per inserire correttamente nella formula il valore ±Ai basta ricordare che, se il Sole non ha ancora oltrepassato l'asse definito dall'allineamento delle paline, occorre aggiungere l'angolo Ai all'azimut calcolato del Sole A¤, ovvero premettere ad Ai il segno +. Se invece il Sole ha già oltrepassato il suddetto asse, l'angolo Ai va sottratto all'azimut calcolato A¤ del Sole, ovvero gli si deve premettere il segno -. Ci si può aiutare con la bussola prendendo speditivamente una misura di azimut magnetico/bussola Ab che dia un'idea anche grossolana dell'azimut dell'allineamento. Per esempio, essendo A¤ = 248°15'24" e Ai = 181,35g = 163°12'54", se Ab = 83°30', allora Aa = 248°15'24" - 163°12'54" = 85°02'30". Essendo invece A¤ = 255°23'35" e Ai = 400g - 390,65g = 9,35g = 8°24'54", poiché Ab = 263°30', allora A¤ = 255°23'35" + 8°24'54" = 263°48'29". Cioè: la misura dell'azimut dell'allineamento presa con la bussola, sebbene affetta dalla declinazione magnetica e da eventuali anomalie magnetiche locali, dà un'idea approssimata del risultato che si deve ottenere con i calcoli.
N.B.: per trasformare i gradi centesimali g in sessagesimali °, basta moltiplicare i primi per (360° ÷ 400g) e, all'opposto, per trasformare i gradi sessagesimali ° in gradi centesimali g, basta moltiplicarli per (400g ÷ 360°).
Es.: 0g - 181,35g = -181,35g × (360° ÷ 400g) = -163°12'54" (senso orario sul cerchio azimutale dello strumento di misurazione); 400g - 390,65g = +9,35g × (360° ÷ 400g) = +8°24'54" (senso antiorario sul cerchio azimutale dello strumento di misurazione)[11].
Es.: -163°12'54" × (400g ÷ 360°) = -181,35g;
+8°24'54" × (400g ÷ 360°) = +9,35g.
Ciò è giustificato dal fatto che nel primo caso è stato misurato strumentalmente un angolo maggiore di quello azimutale del Sole e nel secondo caso un angolo minore.
Si trasforma poi l'altezza osservata (con l'inclinometro o con il cerchio zenitale del teodolite) ho in altezza vera hv✴ di un astro qualsiasi correggendo ho soltanto per la depressione dell'orizzonte e per la rifrazione R (calcolata con le apposite formule o presa dalle apposite tavole):
hv✴ = ho - 0,03 × ÖQ - R
La misura della rifrazione atmosferica R è uno dei problemi più difficili dell'astronomia osservativa. Poiché per la sua misura esatta dovremmo conoscere pressione atmosferica, temperatura e umidità relativa di tutte le masse d'aria che il raggio di luce dell'astro percorre dal suo ingresso nell'atmosfera fino all'occhio dell'osservatore, ci si deve accontentare di una misura approssimata basata sulla pressione atmosferica e sulla temperatura al suolo nel luogo dell'osservazione. Esistono molte formule e quasi tutte complesse per calcolarla (Flora 1987, cap. XIII; Smart 1977, cap. III; Zagar 1984, cap. X), ma tutte sono valide solo per altezze dell'astro sull'orizzonte di almeno 5° o più. Conviene quindi utilizzare apposite e pratiche tabelle, come quelle dell'Istituto Idrografico della Marina Militare Italiana (I.I.M. 1961, tab. 22, p. 160). In alternativa, si può usare la facile formula di Bennet (Meeus 2005, cap. 16) per la quale però bisogna dotarsi di barometro e termometro:
R’1 = 1 ÷ (tan (ho + (7,31 ÷ (ho + 4,4)))
Si trasforma R’ in R° e lo s'inserisce fra parentesi nel membro a destra della seguente formula, il cui risultato è ancora in primi d'arco:
R’2 = -0,06 × sen (14,7 × R° + 13)
Poiché la formula di Bennet è concepita per i valori standard di pressione p = 1010 mb e temperatura t = 10°C, si moltiplica il risultato trovato R’2 per la pressione atmosferica p espressa in millibar mb e la temperatura t espressa in gradi Celsius, misurate entrambe in loco al momento dei rilievi:
p ÷ 1010 × 283 ÷ (273 + t)
La depressione dell'orizzonte è data dalla formula
0,03 × ÖQ
dove Ö è la radice quadrata e Q è l'altezza dell'occhio dell'osservatore in metri, comprensiva della quota sopra il livello del mare e dell'altezza dell'occhio dell'osservatore rispetto al suolo[12].
Se dal successivo calcolo della declinazione δa sottesa dall'allineamento si riscontrano valori compresi entro l'ampiezza delle declinazioni del Sole (tra 0°00'00" e ±23,5°) o della Luna (tra 0°00'00" e ±23,5° ±5°09' = ±29,6° oppure ±18,3°[13]), si ripete il calcolo dell'altezza vera hv inserendo anche i valori di semidiametro Sd (preso giornalmente dagli almanacchi, o, in mancanza assumendo un semidiametro medio, sostanzialmente uguale sia per il Sole che per la Luna, pari a 0°16'00"[14]) e di parallasse orizzontale equatoriale media P, pari a 0°00'08,794148" per il Sole e 0°57'02,7" per la Luna[15].
Il semidiametro Sd va aggiunto se si vuole la levata od il tramonto del lembo inferiore di Sole e Luna e va sottratto se si vuole invece la levata od il tramonto del loro lembo superiore. Ciò è intuitivamente evidente perché la formula senza la correzione per il semidiametro si riferisce al centro geometrico del disco apparente di Sole o di Luna.
La formula di base per la trasformazione di un'altezza apparente ho in altezza vera hv è quella utilizzata nel Metodo Nautico (Codebò 1997b):
hv = ho - 0,03 × ÖQ – R ± Sd + P cos ho
semplice, sufficientemente precisa per tutti gli usi e che tiene conto della variazione della parallasse equatoriale orizzontale media P in funzione dell'altezza osservata ho, moltiplicando la prima per il coseno della seconda. Ma per una maggiore precisione occorre tenere conto, almeno per la Luna, anche della latitudine dell'osservatore, trasformando la parallasse equatoriale orizzontale media P in parallasse locale in altezza.
Si possono usare pressoché indifferentemente - differendo tra loro nel risultato per soli 0°00'00,03" - due formule per il calcolo preciso dell'altezza vera hv:
la
"formula nautica" (Flora
1987, cap. XIII):
hv = ho - 0,03 × ÖQ - R ± Sd × [1 + sen (ho - 0,03 × ÖQ - R) × sen P] + [P - P × (1 ÷
298,257) × (sen φ)²] × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)
oppure la "formula geodetica" (Meeus 2005, capp. 11 e 40):
hv = ho - 0,03 × ÖQ - R ± Sd × {1 + sen [ho - 0,03 × ÖQ - R] × sen P} + arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 × cos (2 × φ) - 0,0000035 × cos (4 × φ)] × sen P × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)}
Nel caso che si sospettino allineamenti verso uno dei cinque pianeti visibili ad occhio nudo, mancando di fatto per essi un semidiametro apparente, la formula dell'altezza vera diventa[16]:
"formula nautica"
hv = ho - 0,03 × ÖQ - R + [P - P × (1 ÷ 298,257) × (sen φ)²] × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)
oppure
"formula geodetica"
hv = ho - 0,03 × ÖQ - R + arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 × cos (2 × φ) - 0,0000035 × cos (4 × φ)] × sen P × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)}
Di fatto, nella programmazione dell'algoritmo, conviene usare una sola formula (a piacere tra quella nautica e quella geodetica) completa di tutti i parametri ho, Q, Sd e P in luogo di più formule ed introdurre poi il valore 0 (zero) nei casi in cui non interessi tenere conto di qualcuno di essi (per es. di Sd e P nel caso di stelle e Sd nel caso di pianeti, ecc.).
Si calcola poi, in funzione dell'altezza vera hv, la declinazione δa sottesa dall'azimut dell'allineamento Aa alla data della misurazione:
δa = arcsen (sen φ × sen hv + cos φ × cos hv × cos Aa)
Si rammenti che:
a) i limiti estremi delle declinazioni solari δ¤ oscillano tra +23°26'21,448" al solstizio d'estate e -23°26'21,448" al solstizio d'inverno al 01/01/2000 d. C.;
b) agli equinozi δ¤ è sempre, in qualsiasi data ed epoca, 0°00'00";
c) le declinazioni della Luna oscillano ogni 6798 giorni = 18,61 anni tra ±29°35'21" ai lunistizi estremi e ±18°17'21" ai lunistizi intermedi (valori esatti per il J2000,0)[17]. Vale a dire che la Luna ogni circa nove anni raggiunge e non supera le declinazioni ±18°17'21" e nove anni dopo (o prima) le declinazioni ±29°35'21". Come si è detto, questi sono i valori esatti al 01/01/2000 d. C. I valori nelle altre date sono trovati con la formula di Laskar che conclude l'algoritmo del Metodo JDE;
d) le declinazioni che eccedono questi valori estremi sono, salvo errori di calcolo, declinazioni stellari.
Aa è contato da Nord in senso orario (N = 360° = 0°; E = 90°; S = 180°; W = 270°). In alternativa - ma non è consigliabile! - si può contare Aa da Sud nel senso orario (S = 360° = 0°; W = 90°; N = 180°; E = 270°). In tal caso la formula per il calcolo della declinazione sottesa dall'allineamento δa diventa:
δa = arcsen (sen φ × sen
hv - cos φ × cos hv × cos Aa)
Si può anche usare la distanza zenitale Z = 90° - hv in luogo di hv. In questo caso le formule diventano, rispettivamente:
δa = arcsen (sen φ × cos Z + cos φ × cos Z × cos Aa)
se Aa è contato da Nord e:
δa = arcsen (sen φ × cos Z - cos φ × cos Z × cos Aa)
se Aa contato da Sud.
Otteniamo così la declinazione δa alla data della misurazione. Con la formula di Laskar, si calcola infine la declinazione δaU sottesa dall'allineamento Aa all'epoca in cui il monumento fu costruito (beninteso: conoscendone la datazione con la maggiore precisione possibile):
δa1 = δa - 1°18'00,93" × (U) - 0°00'01,55" × (U)² + 0°33'19,25" × (U)³ - 0°00'51,38" × (U)ˆ4 - 0°04'09,67" × (U)ˆ5 - 0°00'39,05" × (U)ˆ6 + 0°00'07,12" × (U)ˆ7 + 0°00'27,87" × (U)ˆ8 + 0°00'05,79" × (U)ˆ9 + 0°00'02,45" × (U)ˆ10
dove, ancora una volta, U = T ÷ 100.
Si noti che, a differenza della formula di Laskar usata prima per calcolare δ¤ nell'istante della misurazione, qui vanno introdotti i valori di δa trovati. Il risultato sarà il valore δaU di δa all'epoca in cui l'allineamento fu creato. Per effetto della precessione planetaria, nell'arco di circa 41000 anni le declinazioni del Sole non superano i valori estremi di circa ±24,4° e quelli della Luna di circa ±24,4° ±5,15°=29,55° e ±19,25°. Valori superiori, sia positivi che negativi, sono declinazioni stellari che impongono l'identificazione della stella sottesa mediante le procedure di calcolo della sua posizione apparente. In pratica conviene possedere dei tabulati, precalcolati per lunghi intervalli di tempo per es. ogni cinquecento anni, delle posizioni apparenti delle principali stelle e determinare poi con precisione la posizione apparente di quelle poche la cui declinazione si avvicina maggiormente a quella δaU ottenuta. Si rammenti che nella classificazione di Tolomeo, le stelle di I grandezza sono 20, quelle di II sono circa 60 e quelle di III circa 200 in entrambi gli emisferi. Allo stato attuale delle nostre conoscenze, sembra assai poco probabile che in antico si orientassero monumenti verso stelle di grandezza inferiore alla III tolemaica. Quindi, il tabulato può ragionevolmente limitarsi ad esse, compresi alcuni asterismi particolarmente evidenti come le Pleiadi, le Iadi e simili. δa deve sempre essere introdotta come valore assoluto positivo e solo dopo il calcolo le deve essere attribuito il segno + o - che le compete. Diversamente, la formula fornisce valori errati. U è la solita unità di tempo in cui 1 = 10000 anni dal J2000,0 d. C., ecc., ovvero T÷100, dove T = (JDE - 2451545,0) ÷ 36525.[18]
Ecco qui di seguito la sequenza dell'intero algoritmo scrivibile in un linguaggio di programmazione.
JDE = INT [365,25 × (AAAA + 4716)] + INT [30,6001 × (MM + 1)] + DD,dddd[19] + {2 - INT (AAAA ÷ 100) + INT [(AAAA ÷ 100) ÷ 4]} - 1524,5
oppure:
JDE = INT [365,25 × (AAAA + 4716)] + INT
[30,6001 × (MM + 1)] + DD,dddd - 1524,5
oppure:
INT [365,25 × (AAAA - 1 + 4716)] + INT
[30,6001 × (MM + 12 + 1)] + DD,dddd + {2 - INT [(AAAA - 1) ÷ 100] + INT {[(AAAA
- 1) ÷ 100] ÷ 4}} - 1524,5
oppure:
JDE = INT [365,25 × (AAAA - 1 + 4716)] +
INT [30,6001 × (MM + 12 + 1)] + DD,dddd - 1524,5
T = (JDE - 2451545,0) ÷ 36525
Lm = 280,46646° + 36000,76983° × (T) +
0,0003032° × (T)²
M = 357,52911° + 35999,05029° × (T) -
0,0001537° × (T)²
C = [1,914602° - 0,004817° × (T) -
0,000014° × (T)²] × sen M° + [0,019993° - 0,000101° × (T)] × sen (2 × M°) +
0,000289° × sen (3 × M°)
Lv = Lm + C
La = Lv - 0,00569° - 0,00478° × sen
(125,04° - 1934,136° × T)
ε = 23°26'21,448" - 0°00'4680,93" × (T ÷
100) - 0°00'01,55" × (T ÷ 100)² + 0°00'1999,25" × (T ÷ 100)³ -
0°00'51,38" × (T ÷ 100)ˆ4 - 0°00'249,67" × (T ÷ 100)ˆ5 -
0°00'39,05" × (T ÷ 100)ˆ6 + 0°00'07,12" × (T ÷ 100)ˆ7 +
0°00'27,87" × (T ÷ 100)ˆ8 + 0°00'05,79" × (T ÷ 100)ˆ9 + 0°00'02,45"
× (T ÷ 100)ˆ10
δ¤ = arcsen (sen ε × sen La)
Ec = 0,016708634 - 0,000042037 × (T)
- 0,0000001267 × (T)²
ET hms[20]
= {[tan (ε ÷ 2)]² × sen (2 × Lm) - 2 × Ec × sen M + (4 × Ec) × [tan
(ε ÷ 2)]² × sen M × cos (2 × Lm) - (1 ÷ 2) × [tan (ε ÷ 2)]ˆ4 × sen (4
× Lm) - (5 ÷ 4) × (Ec)² × sen (2 × M)} × 180° ÷ 3,14159265359 ÷ 15
H¤° = [(UTC - 12h00m00s) × 15] - (±λ °) +
(ET hms × 15)
h ¤° = arcsen (sen φ × sen δ¤ + cos φ × cos δ¤ × cos H¤)
A¤°1 = arcos [(sen δ¤ - sen φ × sen h¤) ÷ (cos φ × cos h¤)]
A¤° = A¤1 se H¤ > 180°
A¤° = 360° - A¤1 se H¤ < 180°
Aa = A¤ + (± Ai)
hv✴= ho - 0,03 × ÖQ - R
per i pianeti:
hv• = ho - 0,03 × ÖQ - R + [P - P × (1 ÷ 298,257) × (sen φ)²] × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)
oppure
hv• = ho - 0,03 × ÖQ - R + arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 × cos (2 × φ) - 0,0000035 × cos (4 × φ)] × sen P × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)}
e, nel caso di declinazioni compatibili con il Sole o con la Luna o meglio, in tutti i casi (ponendo = 0 quei parametri che non interessano[21]):
hv = ho - 0,03 × ÖQ - R ± Sd × [1 + sen (ho - 0,03 × ÖQ - R) × sen P] + [P - P × (1 ÷
298,257) × (sen φ)²] × cos (ho - 0,03 × ÖQ - R)
oppure:
hv = ho - 0,03 × ÖQ - R ± Sd × {1 + sen [ho - 0,03 × ÖQ - R] × sen P} + arcsen {[0,9983271
+ 0,0016764 × cos (2 × φ) - 0,0000035 × cos (4 × φ)] × sen P × cos
(ho - 0,03 × ÖQ - R)}
δa = arcsen (sen φ × sen
hv + cos φ × cos hv × cos Aa)
δa1 = δa -
1°18'00,93" × (U) - 0°00'01,55" × (U)² + 0°33'19,25" × (U)³ -
0°00'51,38" × (U)ˆ4 - 0°04'09,67" × (U)ˆ5 - 0°00'39,05" × (U)ˆ6
+ 0°00'07,12" × (U)ˆ7 + 0°00'27,87" × (U)ˆ8 + 0°00'05,79" ×
(U)ˆ9 + 0°00'02,45" × (U)ˆ10
dove:
U = T ÷ 100.
Esempio numerico
Dalle misure del dolmen di Borgio Verezzi in Codebò 1997b, nel quale furono prese le misure angolari istrumentali Ai1 ed Ai2 di entrambi i lati del megalite e ne furono calcolate le rispettive declinazioni sottese δa1 e δa2 prima con ho✴ e successivamente, poiché le declinazioni sottese risultarono molto prossime a quelle della Luna, con hv◖ corretta per i parametri lunari: semidiametro Sd◖, parallasse P◖ e levata del lembo inferiore. Infine fu calcolato l'azimut medio del dolmen Aaµ = 133°33'40,38” con deviazione standard[22] σ ±4,20013888889 e, sempre con hv◖, fu calcolata la declinazione media δaµ sottesa. Si confrontino i risultati ottenuti con il Metodo JDE con quelli ottenuti con il Metodo Nautico, pari a: δa◖1 -26°59'57,53", Da◖2 -32°00'43,52", δam -29°33'43,59".
data: 26/12/1994
tm: 12h53m35s
φ 44°10'23"N
λ 8°18'52"E
Q m. 302,5
Ai1: -57°09'40"
Ai2: -48°45'39"
ho: 0°00'00"
R = 0°36'29" (dalle Tavole Nautiche dell’I.I.M., tav. n. 22)
Sd¤ = 0°16'
P¤ = 0°00'08,794148"
Sd◖ = 0°15'42"
P◖ = 0°57'02,7"
i◖ = 5°09' (inclinazione del piano dell’orbita lunare sull’eclittica)
U = -0,4
tm: 12h53m35s ÷ 24 = 0,537210648148
JDE = INT [365,25 × (1994 + 4716)] +
INT [30,6001 × (12 + 1)] + 26,537210648148[23] + [2 - INT (1994 ÷ 100) ÷ 4] -
1524,5 = 2449713,03721
T = (2449713,03721 - 2451545,0) ÷
36525 = -0,0501564076485
Lm = 280,46646° + 36000,76983° ×
-0,0501564076485 + 0,0003032° × (-0,0501564076485)² = - 1525,20282649° =
-1525°12'10,18"[24]
M = 357,52911° + 35999,05029° ×
-0,0501564076485 - 0,0001537° × (-0,0501564076485)² = - 1448,05393169° =
-1448°03'14,15"
C = [1,914602° - 0,004817° ×
(-0,0501564076485) - 0,000014° × (-0,0501564076485)²] × sen -1448,05393169° +
(0,019993° - 0,000101° × -0,0501564076485) × sen (2 × -1448,05393169°) +
0,000289° × sen (3 × -1448,05393169°) = -0,273946158039° = -0°16'26,21"
Lv = -1525,20282649° +
(-0,273946158039°) = -1525,47677265° = -1525°28'36,38"
La = -1525,47677265° - 0,00569° -
0,00478° × sen (125,04° - 1934,136° × -0,0501564076485) = -1525,47926115° =
-1525°28'45,34"
ε = 23°26'21,448" -
0°00'4680,93" × (-0,0501564076485 ÷ 100) - 0°00'01,55" ×
(-0,0501564076485 ÷ 100)² + 0°00'1999,25" × (-0,0501564076485 ÷ 100)³ - 0°00'51,38"
× (-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ4 - 0°00'249,67" × (-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ5 -
0°00'39,05" × (-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ6 + 0°00'07,12" ×
(-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ7 + 0°00'27,87" × (-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ8 +
0°00'05,79" × (-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ9 + 0°00'02,45"×
(-0,0501564076485 ÷ 100)ˆ10 = 23,4399432738° = 23°26'23,8"
δ¤ = arcsen (sen 23,4399432738° × sen
-1525,47926115°) = -23,3626805728° = -23°21'45,65"
Ec = 0,016708634 - 0,000042037 ×
(-0,0501564076485) - 0,0000001267 × (-0,0501564076485)² = 0,0167107421062
ET = {[tan (23,4399432738°
÷ 2)]² × sen (2 × -1525,20282649°) - 2 × 0,0167107421062 × sen -1448,05393169°
+ (4 × 0,0167107421062) × [tan (23,4399432738° ÷ 2)]² × sen -1448,05393169° ×
cos (2 × -1525,20282649°) - (1 ÷ 2) × [tan (23,4399432738° ÷ 2)]ˆ4 × sen (4 ×
-1525,20282649°) - (5 ÷ 4) × (0,0167107421062)2 × sen (2 ×
-1448,05393169°)} × 180° ÷ 3,14159265359 ÷ 15 = -0,0087878447108h =
-0h00m31,64s
H¤° = [(11h53m35s - 12h00m00s) ×
15] - (-8°18'52") + (-0,0087878447108 × 15) = 6,57846010711° =
6°34'42,46"
h¤° = arcsen (sen 44°10'23" × sen
-23,3626805728° + cos 44°10'23" × cos -23,3626805728° × cos
6,57846010711°) = 22,1957389067° = 22°11'44,66"
A¤1° = arcos [(sen -23,3626805728° - sen
44°10'23" × sen 22,1957389067°) ÷ (cos 44°10'23" × cos 22,1957389067°)]
= 173,477810764° = 173°28'40,12"
A¤° = 360° - 173,477810764° = 186,522189236° = 186°31'19,88"
Aa1° = 186,522189236° + (-57°09'40") = 129,361078125° = 129°21'39,88"
Aa2° = 186,522189236° + (-48°45'39") = 137,761355903° = 137°45'40,88"
hv✴°[25]
= 0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 -
0°36'29" + 0°00'00" × [1 + sen (0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29") × sen
0°00'00"] + [0°00'00" - 0°00'00" × (1 ÷ 298,257) × (sen
44°10'23")²] × cos (0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29") = -1,12983136948° =
-1°07’47,39”
oppure
hv✴° = 0°00'00"- 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29" +
0°00'00" × {1 + sen [0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29"] × sen 0°00'00"} +
arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 × cos (2 × 44°10'23") - 0,0000035 × cos (4
× 44°10'23")] × sen 0°00'00" × cos (0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29")} =
-1,12983136948° = -1°07’47,39”
δ✴°1 = arcsen (sen
44°10'23" × sen -1,12983136948° + cos 44°10'23" × cos -1,12983136948°
× cos 129,361078125°) = -27,9387945535 = -27°56’19,66”
δ✴°2 = arcsen (sen
44°10'23" × sen -1,12983136948° + cos 44°10'23" × cos -1,12983136948°
× cos 137,761355902°) = -33,0004311176° = -33°00’01,55”
hv◖° = 0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 -0°36'29" + 0°15'42" × [1 + sen
(0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 -
0°36'29") × sen 0°57'02,7"] + [0°57'02,7" - 0°57'02,7" × (1
÷ 298,257) × (sen 44°10'23")²] × cos (0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 -0°36'29") =
0,0807672832529° = 0°04'50,76"
oppure
hv◖ = 0°00'00"- 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29" + 0°15'42" × {1 +
sen [0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 -
0°36'29"] × sen 0°57'02,7"} + arcsen {[0,9983271 + 0,0016764 × cos (2
× 44°10'23") - 0,0000035 × cos (4 × 44°10'23")] × sen 0°57'02,7"
× cos (0°00'00" - 0,03 × Ö302,5 - 0°36'29")} = 0,0807737966481° =
0°04'50,79"
δa◖1 = arcsen
(sen 44°10'23" × sen 0,0807737966481° + cos 44°10'23" × cos 0,0807737966481°
× cos 129,361078125°) = -26,9937732572° = -26°59'37,58"
δa◖2 = arcsen
(sen 44°10'23" × sen 0,0807737966481° + cos 44°10'23" × cos
0,0807737966481° × cos 137,761355903°) = -32,0071797905° = -32°00'25,85"
Aaµ (medio) = (129°21'39,88" + 137°45'40,88") ÷ 2 = 133,561216667° = 133°33'40,38"[26]
deviazione standard σ = ±4,20013888889
δam (media) = arcsen (sen 44°10'23" × sen 0,0807737966481° + cos 44°10'23" × cos 0,0807737966481° × cos 133,561217014°) = -29,5568602313° = -29°33'24,7"
ε = -29,5568602313° - 0°00'4680,93" × (-0,4) - 0°00'01,55" × (-0,4)² + 0°00'1999,25" × (-0,4)³ - 0°00'51,38" × (-0,4)ˆ4 - 0°00'249,67" × (-0,4)ˆ5 - 0°00'39,05" × (-0,4)ˆ6 + 0°00'07,12" × (-0,4)ˆ7 + 0°00'27,87" × (-0,4)ˆ8 + 0°00'05,79" × (-0,4)ˆ9 + 0°00'02,45" × (-0,4)ˆ10 = -30,0426013959° = -30°02'33,37"
Nota:
dalle δa ottenute, in particolare da δaµ, parrebbe che l'asse centrale del dolmen di Borgio Verezzi sia allineato verso il sorgere della Luna quando essa raggiunge, ogni 6798 giorni, le sue declinazioni minime: -28°35'21,45" J2000,0 e -29°04'26,71" nel 2000 a. C., epoca presuntiva dell'erezione del dolmen. Infatti la δaµ ottenuta = -29°33'24,7" è compatibile con il lunistizio minimo. In realtà un sopralluogo eseguito da Archeoastronomia Ligustica nell'inverno 2006, quando la Luna era al culmine del suo ciclo di 6798 giorni e raggiungeva ogni mese le sue declinazioni estreme, mostrò visivamente che il dolmen è effettivamente orientato verso il sorgere della Luna in prossimità delle sue declinazioni estreme negative, ma prima del lunistizio minimo. Allo stato attuale esso sembra orientato approssimativamente verso il sorgere della Luna quando la sua declinazione è circa -27°. L'errore è dovuto all'impossibilità di misurare con esattezza l'altezza osservata ho a causa della vegetazione boschiva. All'epoca del primo studio (Codebò 1997a, pp. 735 - 751) dedussi ho tracciando l'azimut su una tavoletta IGM 1:25000 che mostrò come l'azimut non incontrasse ostacoli fino all'orizzonte marino. In realtà ho probabilmente non è pari a 0 (zero) ma un poco più alto perché sfiorerebbe le pendici occidentali della Rocca dell'Orera. Purtroppo la fitta ed alta vegetazione boschiva continua ad impedirne la misurazione. Escluso il taglio della vegetazione, non resta che monitorare la levata della Luna man mano che la sua declinazione diminuisce.
Un confronto con i sopra citati risultati ottenuti con il Metodo Nautico mostra una differenza di soli 18,39" in δam; 19,45" in δa◖1 e 17,67" in δa◖2.(in meno per il Metodo JDE rispetto al Metodo Nautico).
Ringraziamenti
Ringrazio tutti coloro che hanno contribuito in qualsiasi modo alla stesura di questo articolo, ed in particolare: la dott.ssa Elena Salvo che ha corretto con grande attenzione e ripetutamente le bozze ed il dott. Walter Ferreri che ha controllato la correttezza dell’intero algoritmo.
Bibliografia
AA.VV. (1961), Tavole nautiche, I.I.M., Genova.
Codebò Mario (1997a), Prime indagini archeoastronomiche in Liguria, in: Memorie S.A.It., 68, 3.
Codebò Mario (1997b), Problemi generali del rilevamento archeoastronomico, in: Atti del I Seminario A.L.S.S.A. di Archeoastronomia, Genova 22/02/1997.
Flora Ferdinando (1987), Astronomia nautica, Hoepli, Milano.
I.I.M. (1961), Tavole nautiche, I.I.M., Genova.
Meeus Jean (1990), Astronomia con il computer, Hoepli, Milano.
Meeus Jean (2005), Astronomical algorithms, Willmann-Bell
Inc., Richmond, Virginia, U.S.A.
Pannunzio Renato (2002), Moti della terra e scale di tempo nell’astronomia moderna, Rapporto Interno O.A.To., I.N.A.F. Osservatorio Astronomico di Torino, Torino.
Proverbio Edoardo (1989), Archeoastronomia, Teti, Milano.
Romano Giuliano (1992), Archeoastronomia italiana, C.L.E.U.P., Padova.
Smart W. M. (1977), Textbook on spherical astronomy,
Cambridge University Press, Cambridge, U.K.
Zagar Francesco (1984), Astronomia sferica e teorica, Zanichelli, Bologna.
Esempio di programma
Si dà qui di seguito il programma di calcolo del Metodo JDE scritto nel linguaggio della calcolatrice scientifica Casio fx-9700GE. Questo programma è utilizzabile con qualsiasi altro modello che utilizzi lo stesso linguaggio.
|
|
